由任意一點(diǎn)到任意一點(diǎn)可作有且僅有一條直線。
　　一條有限直線可以繼續(xù)延長。
　　以任意點(diǎn)為心及任意的距離可以畫圓。
　　凡直角都相等。
　　同一平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角的和小于兩直角，則這兩直線經(jīng)無限延長后在這一側(cè)相交。

　　歐幾里得的五條公設(shè)一直以來被當(dāng)做公理傳授給學(xué)生們。公理，是不需要證明的，所有的人都默認(rèn)公理所說是正確無疑的。許多年來一直如此，有誰會(huì)去懷疑呢？且不論質(zhì)疑權(quán)威的困難，更何況這些與現(xiàn)實(shí)生活多么契合。難道有誰見過不一樣的直角嗎，有誰見過平行的直線相交嗎？如果有人這么說，多半會(huì)被認(rèn)為是瘋子吧。

　　他是這樣被教導(dǎo)的，也是這么想的，可是他卻一直被心底深處翻攪著的一個(gè)念頭困擾著：“如果……”。他曾經(jīng)向他的父親，一位在鎮(zhèn)上頗有些名望的數(shù)學(xué)教師提起過這個(gè)念頭，他的父親斷然回答：不要在這種無聊的想法上浪費(fèi)時(shí)間。

　　他似乎聽從了他父親的話，再也沒有向任何人提起過這個(gè)念頭。他也一如他父親所期望的繼承了他的衣缽，成為了一名數(shù)學(xué)教師。或許這就是美滿的人生吧，安定而受人尊敬的職業(yè)，同時(shí)還是自己衷心喜愛的。他傳授學(xué)生知識一如許多年前他的老師傳授給他的那樣，一遍遍的敘述著那亙古不變的歐幾里得五大公設(shè)，告訴學(xué)生們：“這是公理�！�

　　但是只有他自己知道，每當(dāng)夜深人靜，獨(dú)自一人坐在稿紙前著迷的在數(shù)學(xué)的迷宮里旋轉(zhuǎn)時(shí)，那個(gè)已被深埋于心底的“如果……”總會(huì)一次次的冒上來蠱惑著他，誘惑著他一點(diǎn)點(diǎn)的走進(jìn)那神秘而未知的領(lǐng)域。

　　他也曾嘗試著，小心的用游移不確定的語氣提起第五公設(shè)，誘導(dǎo)著他的學(xué)生像當(dāng)年的他一樣想到那個(gè)“如果……”。他想，只要有一個(gè)學(xué)生也這么想，那么他當(dāng)年的念頭就并非全然荒謬，那么……會(huì)怎么樣，他也不知道，只是隱秘的期望著。

　　然而終究是沒有，十幾歲的男孩子正是活潑好動(dòng)的年紀(jì)，又有幾個(gè)真正愿意沉浸在復(fù)雜而令人眼花繚亂的幾何課本中呢？他們愿意聽他講課就不錯(cuò)了，不能指望更多。

　　可這到底是不能阻止那個(gè)念頭對他的引誘，終于有一天晚上，那個(gè)在他心底沉積了許久的念頭破土而出。他興奮地在稿紙上寫下“如果歐幾里得第五公設(shè)不成立”，頓了頓筆，卻是堅(jiān)定地一步步走向那未知的領(lǐng)域。

　　他在燈下辛苦的寫了好幾天，從迷惑到興奮，從興奮到激動(dòng)。是的，在他鼓起勇氣寫下那條前提之下，他竟然一點(diǎn)點(diǎn)的建立起了一個(gè)完整自洽的邏輯體系。盡管有些推導(dǎo)出的結(jié)論看起來極其荒謬，比如三角形的內(nèi)角和大于180度，過一點(diǎn)可以有無數(shù)條平行線�？墒窃谛碌倪壿嬻w系下，每一條都可以被嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明。他開始不敢相信，可反復(fù)的檢查幾遍之后，他確信一個(gè)新的幾何體系在他手里誕生了，他打開了那片未知之地的大門。

　　他無比激動(dòng)的給他的父親寫信：“我從烏有之中創(chuàng)造了整個(gè)世界。”可是父親的回信一如多年前那樣斷然：這是不可能。孩子，你一定是錯(cuò)了，停止在這個(gè)沒有意義的問題上浪費(fèi)你的精力吧。

　　他有些失望，卻沒有沮喪。他想到了那位當(dāng)時(shí)最著名的數(shù)學(xué)家，把自己的結(jié)果寄了過去。他相信一這位數(shù)學(xué)家的眼光和聲望，他一定會(huì)認(rèn)同這驚人的發(fā)現(xiàn)，并讓這個(gè)嶄新的領(lǐng)域得到世人和同行的關(guān)注。

　　他滿懷希望等待著，終于等到了大數(shù)學(xué)家的回信。信里用一種客氣而疏離的語氣對他的工作和努力表示贊賞，“但是，我想告訴您，我曾經(jīng)也做過這方面的研究并且有一些進(jìn)展，就像您現(xiàn)在來信所說的那樣，甚至可能研究的更多。可無論如何，這些看似驚世駭俗的東西都是沒有意義的，這只不過是閑暇時(shí)的一種數(shù)學(xué)游戲而已，您能指望大家接受這些玩意嗎，即便您發(fā)表了也不會(huì)得到任何重視，這只是一種游戲，僅此而已。所以放棄研究這些吧，還有許多有意思的問題值得您花費(fèi)時(shí)間去思索，這是忠告。您忠實(shí)的XX�！�

　　數(shù)學(xué)家在新的末尾不失親切的表示他是一個(gè)有前途的人，可是這不能抵消他巨大的失落。他有些不甘心，他無法相信一個(gè)完全完美自洽的理論怎么可能毫無意義，只是一個(gè)游戲呢？盡管理論所得到的結(jié)果沒有人見過，可那真的就是完全的荒謬嗎？他繼續(xù)向大數(shù)學(xué)家寫信闡述他的想法，最后只換來大數(shù)學(xué)家不耐煩的回信：“我再一次誠懇的告誡您停止這種無意義的行為，這是浪費(fèi)時(shí)間。我不會(huì)推薦您的理論也不會(huì)允許這樣荒謬的結(jié)果發(fā)表的�！痹僦�，所有的去信猶如石沉大海。

　　后來呢？后來時(shí)間就如指縫間的水匆匆流過，他繼續(xù)安靜的做著鎮(zhèn)上的數(shù)學(xué)老師。他的父親退休之后希望能整理自己的手稿出版，這個(gè)繁雜的工作有一部分落到了他的身上。在許多個(gè)夜晚，對著跳動(dòng)的燭光整理他父親的手稿之時(shí)，他總?cè)滩蛔?huì)看看書桌那一疊已然蒙灰的手稿，那個(gè)從一個(gè)微不足道的“如果……”出發(fā)，那個(gè)曾讓他激動(dòng)不已的烏有中生出的世界。在最后一天整理完父親的手稿之后，終于沒有忍住，把自己的這一疊手稿也加了進(jìn)去。

　　憑著父親的些許名望和財(cái)富，手稿很順利的出版了，他的那部分手稿也作為附錄放在了書的最后。他像是完成了一件大事般感到一種隱約的喜悅。可是他父親的名望在那些耀眼的數(shù)學(xué)家名字里依舊渺小，即便有一些學(xué)者出于尊敬和交情買下這本書，也只是束之高閣，鮮少翻看，更何況是書的附錄。

　　他的那個(gè)理論和想法就此湮沒無聞，再也，不，應(yīng)該是從來就沒有被世人所發(fā)現(xiàn)。在他看來無比神秘而新奇的烏有中的世界，果真如大數(shù)學(xué)家當(dāng)年所說一樣，像一個(gè)笑話消散在世間。那隱約的喜悅是否漸漸化成了黯然的苦澀，沒有人知道。只是幾年之后，他也病逝了，葬在了家族的墓地里，他父親的旁邊。

　　他大概永遠(yuǎn)也沒辦法知道了，在地球的另一邊，一位俄國的年輕數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基發(fā)表了一個(gè)令數(shù)學(xué)界震驚的結(jié)果，他提出了一個(gè)和歐式平行公理相矛盾的命題,用它來代替第五公設(shè)，然后與歐式幾何的前四個(gè)公設(shè)結(jié)合成一個(gè)公理系統(tǒng)，展開一系列的推理。他明確的指出：第一，第五公設(shè)不能被證明。第二，在新的公理體系中展開的一連串推理，得到了一系列在邏輯上無矛盾的新的定理，并形成了新的理論。這個(gè)理論像歐式幾何一樣是完善的、嚴(yán)密的幾何學(xué)。

　　近四十年后，一名意大利數(shù)學(xué)家在擬球曲面上證實(shí)了非歐幾何的存在，羅巴切夫斯基的獨(dú)創(chuàng)性研究也得到了學(xué)術(shù)界的高度評價(jià)和一致贊美，他本人則被人們贊譽(yù)為“幾何學(xué)中的哥白尼”。

　　再十年之后，德國數(shù)學(xué)家黎曼創(chuàng)立黎曼幾何。

　　現(xiàn)代數(shù)學(xué)認(rèn)為歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區(qū)別的幾何。這三種幾何各自所有的命題都構(gòu)成了一個(gè)嚴(yán)密的公理體系，各公理之間滿足和諧性、完備性和獨(dú)立性。因而這三種幾何都是正確的。歐式幾何適用于我們的日常生活；羅氏幾何適用于宇宙空間中或原子核世界；黎曼幾何適用于研究球表面等實(shí)際問題中。

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