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第1章
嗯,這是別人的解答,貼上來(lái)了~~~~~
這個(gè)題目原來(lái)叫做孫龐猜數(shù),被額化用了,下面的解題過(guò)程中,爲(wèi)了讓本文的讀者容易看得懂,將孫臏、龐涓的名字改成文中人物的名字了,雖然有點(diǎn)囧,也請(qǐng)多多包涵,向辛苦的解題者表示感謝~~
孫龐猜數(shù)的手算推理解法:
1)按照魯含煙的第一句話的后半部分,我們肯定魯含煙知道的和S肯定不會(huì)大于54。
因?yàn)槿绻?4<S<54+99,那么S可以寫(xiě)為S=53+a,a<=99。如果選的兩個(gè)數(shù)字恰好是53和a,那么小楓知道的積M就是M=53×a,于是小楓知道,這原來(lái)兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)含有53這個(gè)因子,因?yàn)?3是個(gè)素?cái)?shù)。可是小于100,又有53這個(gè)因子的,只能是 53本身,所以小楓就可以只憑這個(gè)積53×a推斷出這兩個(gè)數(shù)術(shù)53和a。所以如果魯含煙知道的 S大于54的話,她就不敢排除兩個(gè)數(shù)是53和a這種可能,也就不敢貿(mào)然說(shuō)“但是我肯定你也不知道這兩個(gè)數(shù)是什么”這種話。
如果53+99<S<=97+99,那么S可以寫(xiě)為S=97+a,同以上推理,也不可能。
如果S=98+99,那么魯含煙可以立刻判斷出,這兩個(gè)數(shù)只能是98和99,而且M只能是98×99,
小楓也可以知道這兩個(gè)數(shù),所以顯然不可能。
2)按照魯含煙的第一句話的后半部分,我們還可以肯定魯含煙知道的和S不可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和。
否則的話,如果木匣子選的兩個(gè)數(shù)字恰好就是這兩個(gè)素?cái)?shù),那么小楓知道積M后,就可以得到唯一的素因子分解,判斷出結(jié)果。于是魯含煙還是不敢說(shuō)“但是我肯定你也不知道這兩個(gè)數(shù)是什么”這種話。
根據(jù)哥德巴赫猜想,任何大于4的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和,對(duì)54以下的偶數(shù),猜想肯定被驗(yàn)證過(guò),所以S一定不能是偶數(shù)。
另外型為S=2+p的奇數(shù),其中p是奇素?cái)?shù)的那些S也同樣要排除掉。
還有S=51也要排除掉,因?yàn)?1=17+2×17。如果木匣子選的是(17,2×17),那么小楓知道的將是M=2×17×17,她對(duì)木匣子原來(lái)的兩數(shù)的猜想只能是(17,2×17)。(為什么51要單獨(dú)拿出來(lái),要看下面的推理)
3)于是我們得到S必須在以下數(shù)中:
11 17 23 27 29 35 37 41 47 53
另外一方面,只要魯含煙的S在上面這些數(shù)中,她就可以說(shuō)“但是我肯定你也不知道這兩個(gè)數(shù)是什么”,因?yàn)檫@些數(shù)無(wú)論怎么拆成兩數(shù)和,都至少有一個(gè)數(shù)是合數(shù)(必是一偶一奇,如果偶的那個(gè)大于2,它就是合數(shù),如果偶的那個(gè)等于2,我們上面的步驟已經(jīng)保證奇的那個(gè)是合數(shù)),也就是S只能拆成a) S=2+a×b 或 b) S=a+2^n×b這兩個(gè)樣子,其中a和b都是奇數(shù),n>=1。那么(下面我說(shuō)的“至少兩組數(shù)”中的兩組數(shù)都不相同,而且的確存在(也就是那些數(shù)都小于100)的理由我就不寫(xiě)了,根據(jù)條件很顯然)
a)或者小楓的M=2×a×b,小楓就會(huì)在(2×a,b)和(2,a×b)至少兩組數(shù)里拿不定主意(a和b都是奇數(shù),所以這兩組數(shù)一定不同);
b)或者M(jìn)=2^n×a×b,
如果n>1,那么小楓就會(huì)在(2^(n-1)×a,2×b)和(2^n×a,b)至少兩組數(shù)里拿不定主意;
如果n=1,而且a不等于b,那么小楓就會(huì)在(2×a,b)和(2b,a)至少兩組數(shù)里拿不定主意;
如果n=1,而且a等于b,這意味著S=a+2×a=3a,所以S一定是3的倍數(shù),我們只要
討論S=27就可以了。27如果被拆成了S=9+18,那么小楓拿到的M=9×18,她就會(huì)在
(9,18)和(27,6)至少兩組數(shù)里拿不定主意。
。ㄉ厦鎸(duì)51的討論就是從這最后一種情況的討論發(fā)現(xiàn)的,我不知道上面的論證是否過(guò)分煩瑣了,但是看看51這個(gè)“特例”,我懷疑嚴(yán)格的論證可能就得這么煩)現(xiàn)在我們知道,當(dāng)且僅當(dāng)魯含煙得到的和數(shù)S在 C={11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53} 中,她才會(huì)說(shuō)出“我雖然不能確定這兩個(gè)數(shù)是什么,但是我肯定你也不知道這兩個(gè)數(shù)是什么”這句話 小楓可以和我們得到同樣的結(jié)論,她還比我們多知道那個(gè)M。
4)小楓的話“我現(xiàn)在能夠確定這兩個(gè)數(shù)字了”表明,她把M分解成素因子后,然后組合成關(guān)于木匣子的那兩個(gè)數(shù)的若干個(gè)猜想中,有且僅有一個(gè)猜想的和在C中。否則的話,她還是會(huì)在多個(gè)猜想之間拿不定主意。
魯含煙聽(tīng)了小楓的話也可以得到和我們一樣的結(jié)論,她還比我們多知道那個(gè)S。
5)魯含煙的話“我現(xiàn)在也知道這兩個(gè)數(shù)字是什么了”表明,她把S拆成兩數(shù)和后,也得到了關(guān)于木匣子的那兩個(gè)數(shù)的若干個(gè)猜想,但是在所有這些拆法中,只有一種滿足4)里的條件,否則她不會(huì)知道究竟是哪種情況,使得小楓推斷出那兩個(gè)數(shù)來(lái)。
于是我們可以排除掉C中那些可以用兩種方法表示為S=2^n+p的S,其中n>1,p為素?cái)?shù)。因?yàn)槿绻鸖=2^n1+p1=2^n2+p2,無(wú)論是 (2^n1,p1)還是(2^n2,p2)這兩種情況,小楓都可以由M=2^n1×p1或M=2^n2×p2來(lái)斷定出正確的結(jié)果,因?yàn)橛蒑得到的各種兩數(shù)組合,只有 (2^n,p)這樣的組合,兩數(shù)和才是奇數(shù),從而在C中,于是小楓就可以宣布自己知道了是怎么回事,可魯含煙卻還得為(2^n1,p1)還是(2^n2,p2)這 兩種情況犯愁。
因?yàn)?1=4+7=8+3,23=4+19=16+7,27=4+23=16+11,35=4+31=16+19,37=8+29=32+5,47=4+43=16+31。于是S的可能值只能在17 29 41 53中。讓我們繼續(xù)縮小這個(gè)表。
29不可能,因?yàn)?9=2+27=4+25。無(wú)論是(2,27)和(4,25),小楓都可以正確判斷出來(lái):
a)如果是(2,27),M=2×27=2×3×3×3,那么小楓可以猜的組合是(2,27)(3,18)(6,9),
后面兩種對(duì)應(yīng)的S為21和15,都不在C中,故不可能,于是只能是(2,27)。
b)如果是(4,25),M=4×25=2×2×5×5,那么小楓可以猜的組合是(2,50)(4,25)(5,20) (10,10)。只有(4,25)的S才在C中。
可是魯含煙卻要為小楓的M到底是2×27還是4×25苦惱。
41不可能,因?yàn)?1=4+37=10+31。后面推理略。
53不可能,因?yàn)?3=6+47=16+37。后面推理略。
研究一下17。這下我們得考慮所有17的兩數(shù)和拆法:
(2,15):那么M=2×15=2×3×5=6×5,而6+5=11也在C中,所以一定不是這個(gè)M,否則4)的條件不能滿足,小楓“我現(xiàn)在能夠確定這兩個(gè)數(shù)字了”的話說(shuō)不出來(lái)。
(3,14):那么M=3×14=2×3×7=2×21,而2+21=23也在C中。后面推理略。
(4,13):那么M=4×13=2×2×13。那么小楓可以猜的組合是(2,26)(4,13),只有(4,13)的和在C中,所以這種情況小楓可以說(shuō)4)中的話 。
(5,12):那么M=5×12=2×2×3×5=3×20,而3+20=23也在C中。后面推理略。
(6,11):那么M=6×11=2×3×11=2×33,而2+33=35也在C中。后面推理略。
(7,10):那么M=7×10=2×5×7=2×35,而2+35=37也在C中。后面推理略。
(8,9):那么M=8×9=2×2×2×3×3=3×24,而3+24=27也在C中。后面推理略。
于是在S=17時(shí),只有(4,13)這種情況,小楓才可以猜出那兩數(shù)是什么,既然如此,魯含煙就知道這兩個(gè)數(shù)是什么,說(shuō)出“我現(xiàn)在也知道這兩個(gè)數(shù)字是什么了”。聽(tīng)了魯含煙的話,于是我們也知道,這兩數(shù)該是(4,13)。
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